Группы

Если часть элементов имеет разные коэффициенты РСУ, то для их задания используется диалоговое окно Группы

(рис. 11.4).

Порядок работы в этом окне в основном совпадает с описанным выше для окна Унификация – нажать кнопку Новый список, ввести номера элементов, назначить номера столбцов, из которых выбираются коэффициенты РСУ, и нажать кнопку Сохранить.

В таблице, помещенной в нижней части окна, отмечаются номера столбцов, из которых следует взять коэффициенты РСУ для текущей группы элементов. Напомним, что эти коэффициенты задаются в столбцах 1?15 таблицы в диалоговом окне Расчетные сочетания усилий

(см.рис. 11.1).

Удаление всей информации, введенной в режиме задания расчетных сочетаний усилий, выполняется кнопкой Удаление РСУ (это соответствует отказу от вычисления РСУ).

Рис. 11.4. Диалоговое окно

             Группы

                                                                                                                                                     

12. Главные и эквивалентные напряжения

Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.

                Если выделять из тела в окрестности некой точки  (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого парал­лелепипеда, то действие на него окружающей среды заменя­ется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.

Рис. 12.1

В силу закона парности касательных напряжений

; ; . (12.1)

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений

  (12.2)

На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой n имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение sn

и касательное напряжение tn (рис. 12.2) с равнодействующей Sn. Проекции этой равнодействую­щей на координатные оси Snx, Sny, Snz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):

             (12.3)                                         Рис. 12.2.

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения

s1, s2 и s3. При этом имеется в виду, что s1³s2³s3. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение  и .

                Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок nк определяются из решения системы уравнений:

(sх – sk) lk + txy

mk + txz nk

= 0;

txy lk + (sy – sk) mk + tyz

nk = 0;

txz lk + tyz mk + (sz – sk) nk = 0;

lk2

+ mk2 + nk2 = 1.                                                                              (12.4)

Из (4) следует, что главные напряжения sk (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:

.                                      (12.5)

Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид

,                             (12.6)

а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант  равен утроенному среднему напряжению (гидростатическому давлению) .

                Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:

                q – угол (нутации) между положительными направ­лениями оси Z и n3 (0£q£p);

                y – угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и n1Оn2 так, чтобы ОА, Z и n3 образовали правую тройку, при этом угол y увеличивается от оси X к оси Y (0£y£2p);

                j – угол (чистого вращения) между осями n1

и А, который увеличивается от n1

к n2 (0£j£2p).

Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи

,

принимающий значения m0=1 при чистом сжатии, m0=0 при чистом сдвиге, m0=-1 при чистом растяжении.

                В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит как



                                                               (12.7)

                В SCAD главные напряжения  обозначаются как .

                Для углов Эйлера введены обозначения: 

q – ТЕТА,

y – PSI,

j – FI.

12. 1 Главные напряжения для конечных элементов различных типов

Каждый тип элемента обладает определенными особенностями напряженно-деформиро­ванного состояния (НДС), которое также определяет и особен­ности расположения главных площадок.

                В зависимости от рассматриваемого типа элемента в каждой точке, где определены усилия (напряжения), вычисляются главные напряжения и углы, характеризующие положение главных площадок.

                Если результаты выданы в одной точке – то это центр тяжести элемента (центр тяжести поперечного сечения тела вращения для осесимметричных элементов). Для большего числа точек вычисления будут проведены в узлах элемента и центре тяжести.

Пространственная задача теории упругости

Для решения пространственной задачи теории упругости предназначены объемные элементы и, как частный случай, осесимметричные элементы. Для них с использо­ванием формул из раздела 12.1 вычисляются:

• главные напряжения N1 , N2 и N3.;



• углы Эйлера – ТЕТА (q), PSI(y) и FI(j);



• коэффициент Лоде-Надаи m0.



• угол наклона главного напряжения N1 к оси X1.


Элементы балки стенки

Для случая плоского НДС (балка-стенка) тензор напряжений имеет вид:



                                                                       (12.8)

Так как элемент всегда расположен в плоскости XOZ, то для срединной поверхности его вычисляются только два главных напряжения по формуле



.                             (12.9)

Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1



.                                                                   (12.10)

                Если Txz=0, то считается, что j=0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.

Плиты и оболочки

Для плит на срединной поверхности вычисляются следующие усилия:


• моменты – Mx , My и Mxy;





• перерезывающие силы – .Qx и Qy.


Для оболочек вычисляются также напряжения – Nx , Ny  и Nxy. Тензор напряжений имеет вид



,                                                         (11)

так как касательные напряжения

 не учитываются.

                Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряжения определяются на нижней (Н), срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом

NxB/H  = Nx ± 6Mx/h2,

NyB/H  = Ny ± 6My/h2,                                                               (12)

NxyB/H  = Nxy ± 6Mxy/h2.

                Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхности параллельны одна другой, а главные напряжения определяются по формуле:



,                      (13)

Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1



.                                                           (14)

Если Txy = 0, то считается, что j = 0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной системы координат элемента.

Стержневые элементы

Главные напряжения в стержневых элементах определяются по формуле



.                                               (12.15)

Здесь sx, tx и ty нормальное и касательные напряжения в характерных точках поперечного сечения стержня.

                Для того чтобы определить главные напряжения, сечение элемента должно быть задано:


• как одно из параметрических сечений (положение характерных точек для таких сечений показано на рис. 12.1);



• или с использованием сортамента металлопроката (рис. 12.2) изображены допустимые профили из сортамента и характерные точки сечений, в которых производятся вычисления).


                Во всех других случаях главные напряжения не вычисляются.

                В точках, которые не располагаются на материальной части поперечного сечения (например точка 9 для коробчатого сечения), значения главных напряжений не вычисляются.







Рис. 12.1. Параметрические сечения (начало)












Рис. 12.1. Параметрические сечения (продолжение)



                  

              

                     

     Рис.12.2  Прокатные профили



12.2 Вычисление эквивалентных напряжений

При простых видах деформации, в частности при одноосном напряженном состоянии, об опасности действующих напряжений судят, сопоставляя их с экспериментально устанавливаемой величиной (с пределом текучести для пластических материалов или с временным сопротивлением для хрупких тел). Для сложного напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями s1,  s2 и s3, обычно используется некоторая гипотеза (теория прочности) о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При этом предусматривается возможность сопоставления некоторого эквивалентного напряжения sе с пределом

, который соответствует простому одноосному растяжению. Условие невоз­никно­вения предельного состояния в материале записывается в виде



,

где k1,...,kn

– некоторые константы материала, которые могут и отсутствовать.

                Приведем обозначения некоторых используемых констант:



 – среднее напряжение (гидроста­тическое давление);



- интен­сив­ность напряжений;



 – предельные напряжения материала соответ­ственно при одноосном растяжении, одноосном сжатии и чистом сдвиге;



;



;



;



.

                                Иногда удобнее сопоставлять эквивалентное напряжение с пределом

, соответствующим сопротивлению образца материала при простом одноосном сжатии. Соответ­ствующее эквивалентное напряжение обозначается как sS

.

                                В комплексе реализовано четыре теории прочности, сведения о которых приведены в таблице 121. Все они относятся к изотропным материалам и условиям статического нагружения, когда история поведения конструкции не сказывается на формулировке условий разрушения.

Таблица  12.1



№ п/n	Теории прочности	Выражение для вычисления эквивалентного напряжения sе.	Сфера применения
1	Теория максимальных нор­маль­ных напряжений	sе=s1 ss=|s3|	Для хрупких однородных материалов (керамика, стекло).
2	Теория наибольших линей­ных деформаций	sе=s1 – m (s2+s3) ss=|s3 – m (s1+s2)|
3	Теория наибольших каса­тельных напряжений	sе=s1 – s3 ss=sе	Для пласти­ческих матери­алов с малым упрочнением, для которых характерно появление локаль­ных пластических деформа­ций в виде линий скольжения (отпущенная сталь).
4	Теория октаэдрических каса­тельных напряжений или удельной энергии формо­изме­нения	ss=se	Для большин­ства пласти­ческих материалов (сталь, медь, никель).

<


 

12. 3 Подготовка данных для расчета главных и эквивалентных напряжений

Исходные данные для расчета главных и эквива­лентных напряжений готовятся в диалоговом окне (рис. 12.3.1), которое вызывается из раздела Специальные исходные данные Дерева проекта. Расчет можно выполнить как для загружений, так и для комбинаций загружений. Вид данных, для которых выполняется расчет, назначается путем активи­зации опций, расположенных в верхней части диалогового окна.  Теория, по которой выполняется расчет, выбирается при помощи кнопок в группе Теория прочности. Результаты расчета можно вывести на печать в табличной форме из раздела Дерева проекта Печать таблиц или в Документаторе.



                Для пластинчатых элементов в режиме графического анализа результатов предусмотрено построение изолиний и изополей главных и эквивалентных напряжений, а также отображение направлений главных площадок.

Рис. 12.3.1. Диалоговое окно

Расчет главных и эквивалентных напряжений


Содержание раздела








---